已知点Q是抛物线C1:y2=2px(P>0)上异于坐标原点O的点,过点Q与抛物线C2:y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A,B.(Ⅰ)若点Q的坐标为(1,-

发布时间:2020-08-01 02:38:21

已知点Q是抛物线C1:y2=2px(P>0)上异于坐标原点O的点,过点Q与抛物线C2:y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A,B.
(Ⅰ)若点Q的坐标为(1,-6),求直线AB的方程及弦AB的长;
(Ⅱ)判断直线AB与抛物线C2的位置关系,并说明理由.

网友回答

解:(Ⅰ)由Q(1,-6)在抛物线y2=2px上可得,p=18,抛物线方程为y2=36x(1分)
设抛物线C2的切线方程为:y+6=k(x-1)
联立,,由△=0,可得k=-4,k=12
由可知
由可知(3分)
易求直线AB方程为12x-2y-9=0(4分)
弦AB长为(5分)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),三个点都在抛物线C1上,
故有y02=2px0,y12=2px1,y22=2px2,作差整理得,
所以直线QA:,
直线QB:(6分)
因为QA,QB均是抛物线C2的切线,故与抛物线C2方程联立,△=0,
可得:p2+2y0y1(y0+y1)=0,p2+2y0y2(y0+y2)=0
两式相减整理得:y0(y1-y2)(y0+y1+y2)=0,即可知y0=-(y1+y2)(8分)

所以直线AB:,
与抛物线y=2x2联立消去y得关于x的一元二次方程:2y0x2+2px-y1(y1+y0)=0(10分)
易知其判别式△=0,因而直线AB与抛物线y=2x2相切.故直线AB与抛物线C2相切.(12分)
解析分析:(Ⅰ)由Q(1,-6)在抛物线y2=2px上,求出抛物线方程为y2=36x,设出抛物线C2的切线方程,与抛物线C2联立,用判别式等于零求出切线的斜率,把两切线方程分别与抛物线C1联立求出点A,B,下求过两点的直线方程与弦长.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),三个点都在抛物线C1上,代入抛物线方程,利用点差法求出直线QA、直线QB的斜率,用点斜式写出其方程,因其皆为抛物线C2的切线,故联立后用判别式为零得到两个方程,从其形式上看,对其作差可以得到在点坐标之间的关系,求出y0=-(y1+y2)达到用已知p,y0表示f直线AB的斜率的目的,表示出直线AB的方程,将其与抛物线联立求证出判别式为零,从而得出直线与曲线相切.

点评:考查求直线的方程与求弦长的方法,本题求弦长没有用弦长公式,而采取了代数方法求出了两的坐标,求弦长.在第二问中为了验证直线与曲线的位置关系需要求出直线的方程,此过程比较复杂.
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