已知函数f（x）=，g（x）和f（x）的图象关于原点对称．（I）求函数g（x）的解析式；（II）试判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明；（III）将函数g

网友回答

解：（I）由g（x）和f（x）的图象关于原点对称，
得到g（x）=-f（-x）=-（）=-x2++4，（x＜0）；（2分）
（II）g（x）在（-1，0）上单调递减．
证明：任意取x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，
则＞2，x1+x2＞-2，
∵g（x1）-g（x2）=（x2-x1）（x1+x2+）＞0，
所以g（x）在（-1，0）上递减；（6分）
（III）同理可知g（x）在（-∞，-1）上递增，且g（x）和f（x）关于原点对称．
故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，
则只需要将g（x）向下平移2个单位，
因此b的最小值为2．（10分）

解析分析：（I）因为g（x）和f（x）的图象关于原点对称，所以g（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可确定出g（x）的解析式；（II）g（x）在（-1，0）上单调递减，理由如下：在（-1，0）任取两个值x1和x2，且x1小于x2，然后判断g（x1）与g（x2）的差为正数，即可得到g（x）在（-1，0）上单调递减；（III）由第二问得到g（x）在（-1，0）上单调递减，且g（x）与f（x）关于原点对称，要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，只需将g（x）图象向下平移两个单位，因此得到b的最小值为2．

点评：此题考查了函数解析式得求解及常用的方法，函数单调性的证明，以及函数的图象与图象的变化．函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，其证明方法为：在定义域内任取两个自变量的值，并设出大小关系，代入函数解析式分别表示出相应的函数值，利用作差的方法判断其函数值的大小，即可得到函数的单调性．