设函数f（x）=x2+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．
网友回答
（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）a=-4，f（x）=x2-4ln（x+1）（x＞-1），
，（2分）
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，（5分）
（Ⅱ）
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x2+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令，则t≥12
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）对于方程2x2+2x+a=0，△=4-8a
当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意
当△＞0时，设x1，x2（x1＜x2）是方程2x2+2x+a=0的两个根，（12分）
根据题意有x1＜0＜x2且f（0）＞f（1）
∴，解得a＜-log2e
∴实数a的取值范围为（-∞，-log2e）．（14分）
解析分析：（Ⅰ）当a=-4时，，由此能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ），由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知2x2+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）对于方程2x2+2x+a=0，△=4-8a，当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意．当△＞0时，设x1，x2（x1＜x2）是方程2x2+2x+a=0的两个根，由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．