已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（）2an（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=（An2+Bn+C）?2n，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N*，

网友回答

解：（1）由an+1=2（）2an得：
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…
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将这n-1个式子相乘，得an=2n-1n2a1=2n?n2，
（2）∵bn=（An2+Bn+C）?2n
∴bn+1=（A（n+1）2+B（n+1）+C）?2n+1
∴bn+1-bn=（A（n+1）2+B（n+1）+C）?2n+1-（An2+Bn+C）?2n
=（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）?2n
若an=bn+1-bn成立，则2n?n2=（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）?2n对一切正整数n都成立
∴An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2
∴?A=1，B=-4，C=6；
（3）用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a1=2≤（12-2×1+2）?21：=2，式子成立
当n≥2时，设n=k时不等式成立，
即a1+a2+…+ak≤（k2-2k+2）?2k成立，则
a1+a2+…+ak+ak+1≤（k2-2k+2）?2k+2k+1?（k+1）2
而（k2-2k+2）?2k+2k+1?（k+1）2=2k+1[（k2-k+1）+（k2+2k+1）]
=2k+1（k2+k+2）
并且2k+1（k2+k+2）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）?2k+1，
∴a1+a2+…+ak+ak+1）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）?2k+1
即n=k+1时不等式成立，
综上所述，可得对任意?n∈N*，a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）?2n 总成立

解析分析：（1）用n=1、n=2、n=3、…，一共n-1个值代入式子：an+1=2（）2an得到n-1个等式，将此n-1个等式相乘，就可以得到an=2n-1n2a1=2n?n2；（2）根据bn=（An2+Bn+C）?2n，得到bn+1=（A（n+1）2+B（n+1）+C）?2n+1，再将bn+1-bn进行化简，整理得（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）?2n，最后根据An2+（4A+B）n+2A+2B+C=2n恒等，采用比较系数法，可得A、B、C的值；（3）采用数学归纳法，先验证n=1时不等式的等号成立，然后假设n=k（n≥2）时不等式成立，即a1+a2+…+ak≤（k2-2k+2）?2k，采用放缩的方法可以证出n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）?2k+1也成立，因此可以得出结论对所有的正整数n，不等式都能成立．

点评：本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法和不等式的证明等知识点，是一道难题．注意解题过程中数学归纳的一般方法和不等式放缩的技巧，以达到证明的目的．