已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1（n∈N+）．（1）证明数列{an-n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足：（n∈

网友回答

（1）证法一：由an+1=2an-n+1，
得an+1-（n+1）=2（an-n），
又a1=2，则a1-1=1，
∴数列{an-n}是以a1-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则，
∴．…（4分）
证法二：
=，
又a1=2，则a1-1=1，
∴数列{an-n}是以a1-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则，∴．…（4分）
（2）解：∵，
∴．…（5分）
∴Sn=b1+b2+…+bn
=，…①
∴（n-1），…②
由①-②，得
=
=1-，…（8分）
∴．…（9分）
（3）=2-（n+2）-
=
=，
当n=1时，；
n=2时，；
n≥3时，
＞=2n+1，
∴，
∴．
综上：n=1或2时，；
n≥3时，．…（12分）
解析分析：（1）法一：由an+1=2an-n+1，得an+1-（n+1）=2（an-n），又a1=2，则a1-1=1，由此能够证明数列{an-n}是等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．法二：=2，又a1=2，则a1-1=1，由此能够证明数列{an-n}是等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．（2）由，知，故Sn=，由错位相减法能够求出数列{bn}的前n项和Sn．（3）=，当n=1时，；n=2时，；n≥3时，，由此知n=1或2时，；n≥3时，．

点评：本题考查等差数列的证明和数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的比较．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．