已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an+=2Sn，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{Sn2}是等差数列；（Ⅱ）求解关于n的不等式an+1（Sn-1+Sn）＞4n-8；

网友回答

解：（Ⅰ）∵an+=2Sn，∴an2+1=2anSn．当n≥2时，（Sn-Sn-1）2+1=2（Sn-Sn-1）Sn，
化简得Sn2-Sn-12=1．由a1+=2a1，得a12=S12．
∴数列{Sn2}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）知Sn2=n，又由an+1（Sn-1+Sn）＞4n-8，得Sn+12-Sn2＞4n-8，即1＞4n-8，∴．
又n∈N*，∴不等式的解集为{1，2}
（Ⅲ）当n≥2时，∵，∴，
∵，∴
∴1-＜Tn＜．

解析分析：（Ⅰ）利用an=Sn-Sn-1，化简得Sn2-Sn-12=1．从而数列{Sn2}是等差数列；（Ⅱ）由（I）知Sn2=n，从而Sn+12-Sn2＞4n-8，即1＞4n-8，故可解；（Ⅲ）∵可以证明，同理可证1-＜Tn

点评：本题主要考查等差数列的证明，解不等式，要注意数列的特殊性，对于不等式的证明，利用了放缩法，有一定的技巧．