解答题如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．
（1）求证C1E∥平面A1BD；
（2）求证AB1⊥平面A1BD；
（3）求三棱锥A1-C1DE的体积．
网友回答
解：（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EF∥=A1A．
∵C1D∥=A1A，∴EF∥=C1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E．
∵C1E?平面A1BD，DF?平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．
（2）取BC的中点H，连接AH，B1H，
由正三棱柱ABC-A1B1C1，知AH⊥BC，
∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC=B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD．
在正方形B1BCC1中，∵tan∠BB1H=tan∠CBD=，∴∠BB1H=∠CBD．则B1H⊥BD．
∵AH⊥∩B1H=H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．
在正方形A1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD=B，∴AB1⊥平面A1BD．
（3）∵E为AB的中点，∴．解析分析：（1）要证C1E∥平面A1BD；只须证明直线平行平面内的一条直线，图中DF即可．（2）要证AB1⊥平面A1BD；只须证明只须垂直平面内的两条相交直线A1B、DF 即可，前者利用正方形证明，后者△A1BD说明是等腰三角形．（3）求三棱锥A1-C1DE的体积．利用等底面面积等高体积相等，转化为D-A1EC1的体积，再转化为D-A1B1C1的体积求解即可．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，考查转化思想，是中档题．