如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知AA1=2,AB=根号2,BC=1,∠BCC1=60°1 求证,C1B⊥平面 ABC 2 试在棱CC1不包含端点 上确定一点E的位置,使得EA⊥EB13 在2的条件下,求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值
网友回答
证明：（1）因为AB⊥侧面BB1C1C,故AB⊥BC1,
在△BC1C中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=π3由余弦定理有：
BC1=BC2+CC12-2•BC•CC1•cos∠BCC1= 1+4-2×2×cosπ3=3,
故有BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC,
而BC∩AB=B且AB,BC⊂平面ABC,
∴C1B⊥平面ABC；
（2）EA⊥EB1,AB⊥EB1,AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,
从而B1E⊥平面ABE,且BE⊂平面ABE,故BE⊥B1E,
不妨设CE=x,则C1E=2-x,则BE2=1+x2-x,
又∵ ∠B1C1C=23π则B1E2=1+x2+x,
在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4,从而x=±1（舍负）,
故E为CC1的中点时,EA⊥EB1,
（3）取EB1的中点D,A1E的中点F,BB1的中点N,AB1的中点M
连DF则DF∥A1B1,连DN则DN∥BE,连MN则MN∥A1B1,
连MF则MF∥BE,且MNDF,MD∥AE
又∵A1B1⊥EB1,BE⊥EB1故∠MDF为所求二面角的平面角,
在Rt△DFM DF=12A1B1=22(∵△BCE为正三角形）
MF=12BE=12CE=12∴tan∠MDF= 1222=22．
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供参考答案1:
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知AA1=2,AB=根号2,BC=1,∠BCC1=60°1 求证,C1B⊥平面 ABC 2 试在棱CC1不包含端点 上确定一点E的位置,使得EA⊥EB13 在2的条件下,求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值(图1)