解答题已知数列{an}的前n项和为Sn，，满足，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn

网友回答

解：由题设得Sn2+2Sn+1-anSn=0，当n≥2（n∈N*）时，an=Sn-Sn-1，
代入上式，得Sn-1Sn+2Sn+1=0．（*）
S1=a1=-，
∵Sn+=an-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S2+=a2-2=S2-a1-2，
∴=-2，
∴S2=-．
同理可求得 S3=-，S4=-．
猜想Sn =-，n∈N+，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S1=a1=-，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即SK=-，则当n=k+1时，∵Sn+=an-2，∴，
∴，∴=-2=，
∴SK+1=-，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn =-，n∈N+成立．解析分析：由题设可得 Sn-1Sn+2Sn+1=0，求得S1，S2，S3?的值，猜测Sn =-，n∈N+；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设SK=-，则当n=k+1时，由条件可得，，解出 SK+1=-，故n=k+1时，猜想仍然成立．点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，Sn =-，n∈N+，是解题的难点．