解答题已知圆C的方程是：x2+y2=4，P是圆C上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，M为PD的中点．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l与轨迹E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知，若．试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
网友回答
解：（1）设M（x，y），则P（x，2y），代入圆C的方程是：x2+y2=4，可得：x2+4y2=4
即点M的轨迹方程为…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，则由可得x1x2+4y1y2=0
即，而，由上两式可解得，，
此时为定值；…（8分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由消去y，并整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
则△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（1+4k2-m2），
，（Ⅰ）…（10分）
由可得x1x2+4y1y2=0，即x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0
所以，
将（Ⅰ）代入得：，化简可得：1+4k2=2m2
由弦长公式可得
由点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离为
所以△AOB的面积为定值
综上知，△AOB的面积总为定值1．…（13分）解析分析：（1）确定M，P坐标之间的关系，利用相关点法可求点M的轨迹方程；（2）分斜率存在与不存在，同时借助于韦达定理，利用向量垂直，分别表示三角形的面积，即可求得结论．点评：本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．