解答题在△ABC中,三个内角是A,B,C的对边分别是a,b,c,其中c=10,且
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧AC上,∠PAB=60°,求四边形ABCP的面积.
网友回答
解:(1)证明:根据正弦定理得,
整理为:sinAcosA=sinBcosB,即2sinA=sin2B,
因为0<A<π,0<B<π,所以0<2A<2π,0<2B<2π,所以A=B,或者A+B=
由于,
故△ABC是直角三角形.
(2)由(1)可得:a=6,b=8.
在Rt△ABC中,sin∠CAB==,cos∠CAB=
sin∠PAC=sin(60°-∠CAB)
=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB
=
连接PB,在Rt△APB中,AP=AB?cos∠PAB=5.
所以四边形ABCP的面积
S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC
=
=解析分析:(1)由题设条件利用正弦定理可得,整理得讨论知,A=B或者A+B=又,所以A+B=由此可以得出,△ABC是直角三角形;(2)将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S△ABC与S△PAC的和,S△ABC易求,S△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值,利用三角形的面积公式求解即可.点评:本题第一问考查正弦定理与分类讨论的思想,第二问是探究型题,需分部来求四边形的面积,化整为零,先求局部再求整体,方法较好.