解答题对于集合M,定义函数fM(x)=,对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)?fN(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}.
(Ⅰ)写出fA(1)和fB(1)的值,并用列举法写出集合A△B;
(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数.
(ⅰ)求证:当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时,2∈X;
(ⅱ)求Card(X△A)+Card(X△B)的最小值.
网友回答
(Ⅰ)解:fA(1)=1,fB(1)=-1,
对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)?fN(x)=-1}.
A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}.
∴A△B={1,6,10,16}.…(3分)
(Ⅱ)设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时,X=W.
(ⅰ)证明:假设2?W,令Y=W∪{2}.
那么?Card(Y△A)+Card(Y△B)
=Card(W△A)-1+Card(W△B)-1
<Card(W△A)+Card(W△B).这与题设矛盾.
所以?2∈X,即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时,2∈X.…(7分)
(ⅱ)同(ⅰ)可得:4∈X且8∈X.
若存在a∈X且a?A∪B,则令Z=CU{a}.
那么Card(Z△A)+Card(Z△B)
=Card(X△A)-1+Card(X△B)-1
<Card(X△A)+Card(X△B).
所以?集合W中的元素只能来自A∪B.
若a∈A∪B且a?A∩B,同上分析可知:集合X中是否包含元素a,Card(X△A)+Card(X△B)的值不变.
综上可知,当W为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4.解析分析:(Ⅰ)直接利用新定义写出fA(1)和fB(1)的值,并用列举法写出集合A△B;(Ⅱ)设Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时,X=W,(ⅰ)利用反证法证明2∈X成立;(ⅱ)同(ⅰ)可得:4∈X且8∈X.通过a∈X且a?A∪B,以及a∈A∪B且a?A∩B,Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4.点评:本题考查定义域的应用,集合的基本运算,考查逻辑推理能力,分类讨论思想的应用.