已知△ABC的周长为6，成等比数列，求△ABC的面积S的最大值A.B.2C.D.

网友回答

C

解析分析：设出三向量的模分别为a，b及c，根据周长为6列出关于a+b+c=6，再由a，b及c成等边数列，根据等比数列的性质得到b2=ac，然后由余弦定理表示出cosB，把b2=ac代入，并利用基本不等式求出cosB的最小值，根据余弦函数的图象得到B的范围，同时由b=及基本不等式列出关于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范围，根据三角形的两边之差小于第三边列出不等式，由三角形的周长及b2=ac，得到关于b的一元二次不等式，求出不等式的解集可得b的范围，由a，b及sinB，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ac化为b2后，根据b的最大值及B度数的最大值，得到S的最大值即可．

解答：依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac，由余弦定理得：cosB==≥=，∴0＜B≤，又b=≤=，从而0＜b≤2，∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）2＜b2，∵a+b+c=6，b2=ac，b2＞（a+c）2-4ac，∴b2+3b-9＞0，b＞，∴＜b≤2，∴S=acsinB=b2?sinB≤?22?sin=，则S的最大值为．故选C

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有等比数列的性质，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，以及二次函数最值的求法，其中根据余弦定理，等比数列的性质及不等式的解法得出B及b的范围是解本题的关键．