解答题已知x=4是函数f（x）=alnx+x2-12x+b的一个极值点，（a，b∈R）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y=f（x）有3个不同的零点，求b的取值范围．
网友回答
解：（Ⅰ），（x＞0），…2’
由已知f'（4）=0得，，解得a=16．…4’
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x2-12x+b，x∈（0，+∞），
令 =0，解得 x=2或 x=4．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，4）时，f′（x）＜0；x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞）；f（x）的单调减区间是（2，4）．…8’
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
且当x=2或x=4时，f′（x）=0．
所以f（x）的极大值为f（2）=16ln2-20+b，极小值为f（4）=32ln2-32+b．…10’
又因为f（16）=64ln2+64+b＞16ln2-20+b=f（2），f（e-2）＜-32+b＜32ln2-32+b=f（4）．
当且仅当f（4）＜0＜f（2），y=f（x）有三个零点．…12’
由 32ln2-32+b＜0＜16ln2-20+b，解得 20-16ln2＜b＜32-32ln2，
所以，b的取值范围为（20-16ln2，32-32ln2）．…14’解析分析：（Ⅰ）先求出函数的导数f′（x），由f'（4）=0求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x2-12x+b，由f′（x）=0，求得极值点的横坐标，再根据导数的符号求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）的极大值为f（2），极小值为f（4），故当且仅当f（4）＜0＜f（2），y=f（x）有三个零点，由此求得b的取值范围．点评：本题主要考查函数在某一点取得机制的条件，利用导数研究函数的单调性，方程的根的存在性及个数判断，属于中档题．