（理科做）已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x1?y1）、Q（x2?y2）是其图象上任意两点（x1≠x2）．（1）

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解：（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到．?????????????????????????????????????????????????????????????????（3分）
又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．?????????????????????????????????????????????????????????（5分）
（2）∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在f（x）=x3-x+b的图象上，．???????????（7分）
又x1、x2∈[-1，1]，x1≠x2∵0＜x12+x22+x1x2＜3，从而-1＜x12+x22+x1x2-1＜2
∴|k|=|x12+x22+x1x2-1|＜2?????????????????????????????????????（11分）
（3）∵0≤x1＜x2≤1，且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2），①
又|y1-y2|=|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2②
①+②得2|y1-y2|＜2，故|y1-y2|＜1（14分）

解析分析：（1）由于f（0）=f（1）得到b=1+a+b得a=-1，得出f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到．?又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，最后得出f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．?（2）先由点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在f（x）=x3-x+b的图象上．．?又x1、x2∈[-1，1]，利用不等式的性质即可证得|k|=|x12+x22+x1x2-1|＜2（3）根据0≤x1＜x2≤1，且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2），又|y1-y2|=|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|利用绝对值不等式的性质即可证得|y1-y2|＜1．

点评：本题考查了函数图象中心对称的性质的应用，即函数的对称中心的坐标是（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，由此恒等式进行求值．