M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，则条件p：“”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要

网友回答

C

解析分析：根据三角形中线段长度之间的等量关系判断出条件p成立时，条件q也成立；反之通过三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍判断出条件q成立得到条件p成立，利用充要条件的定义加以判断．

解答：①∵P为AB边上（除A外）的任意一点所以当P与B重合时，可得，∴，此时Q为AC边中点，即直线BM过AC边中点．同理，因为Q为AC边上（除A外）的任意一点∴当Q与C重合时，可得，∴，此时P为AB边中点，即直线CM过AB边中点设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，∵ED是△ABC的一条中位线，∴∵，∴，∴BF=FC ∵BF=FC，∴F为BC边上中点因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线 AM过BC边中点F ∴M为△ABC的重心．②若已知M为重心，亦可求证：．证明：作BF、CE平行于PQ，分别交AC、AB于F、E，AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H，∵M为△ABC的重心，∴D为BC边中点∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，∴BF平行于CE ∵BD=DC，BF平行于CE，∴GD=DH ∵M为△ABC的重心，∴AM=2MD=MD+（MG+GD）∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG ∵AM=MH+MG，∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG ∵3AM=AH+AG∴∵BF平行于PQ，∴∵CE平行于PQ，∴∴∴p是q的充要条件故选C

点评：判断应该条件是另一个条件的什么条件，应该先判断前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立是否能推出前者成立，再利用充要条件的定义加以判断；解决三角形的重心问题要注意三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍．