已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．

发布时间：2020-08-01 01:56:27

已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．

网友回答

（1，3]

解析分析：依题意，双曲线左支上存在一点P使得=8a，|PF1|-|PF2|=-2a，可求得，|PF1|=2a，|PF2|=4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．

解答：∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|-|PF2|=-2a，∴|PF2|=|PF1|+2a，①又=8a，②∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，∴≤3，③又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，∴2a+2c＞4a，∴＞1．④由③④可得1＜≤3．故
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