等比数列{an}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为Sn，自然数b，c，d，e满足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求证：Sb?Se＜Sc?Sd．

网友回答

证明：（1）当q=1时，Sb?Se=ba1?ea1=bea12，Sc?Sd=ca1?da1=cda12
所以：Sb?Se-Sc?Sd=bea12-cda12=a12（be-cd）
而be-cd=（c+d-e）e-cd=ce+de-e2-cd=（c-e）（e-d）．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是（c-e）（e-d）＜0．又
由a1≠0，得a12＞0，所以Sb?Se＜Sc?Sd
（2）当q≠1时，，
同理：
要比较Sb?Se与Sc?Sd的大小，只要比较（1-qb）（1-qe）与（1-qc）（1-qd）的大小，仍然运用差比较法．
（1-qb）（1-qe）-（1-qc）（1-qd）=qc+qd-qb-qe=（qc-qb）-（qe-qd）．
上式=qbq-d（qe-qd）-（qe-qd）=（qe-qd）（qbq-d-1）=q-d（qe-qd）（qb-qd），因为q＞0．所以q-d＞0．
事实上，由b＜d＜e，q＞0，
①当0＜q＜1时，y=qx是减函数，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0；
②当q＞1时，y=qx是增函数，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0．
所以无论0＜q＜1还是q＞1，都有qe-qd与qb-qd异号，即（qe-qd）（qb-qd）＜0．
综上所述，无论q=1还是q≠1，都有Sb?Se＜Sc?Sd．

解析分析：证明不等式首选方法是差比较法，即作差-变形-判定符号，变形要有利于判定符号，本题应该分为两步操作：（1）对公比q=1进行讨论，将Sb?Se与Sc?Sd进行作差、变形，因式分解为（c-e）（e-d），讨论得出其正负；（2）对公比q≠1的情况加以讨论，运用等比数列前n项和的通项公式，将Sb?Se与Sc?Sd的差变形，巧妙地运用等式c=b+e-d，将所得结果分解为q-d（qe-qd）（qb-qd）的形式，最后根据0＜q＜1与q＞1两种情形加以讨论．

点评：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．运用作差法比较大小，应该注意因式分解技巧在证明不等式当中的应用；对于分类讨论的问题，结束语中一定要有综合，才算完整．