直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1交于不同的两点A、B．
（1）求实数k的取值范围；
（2）双曲线C的右焦点F，是否存在实数k，使得以AF⊥BF？若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．
网友回答
解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得（k2-2）x2+2kx+2=0．…①（2分）
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则
k2-2≠0，△=（2k）2-8（k2-2）＞0，
解得k的取值范围为-2＜k＜2．（4分）
（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由①得
，．…②（6分）
假设存在实数k，使得以AF⊥BF得（x1-c）（x2-c）+y1y2=0．??????????????????????（7分）
既（x1-c）（x2-c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．
整理得（k2+1）x1x2+（k-c）（x1+x2）+c2+1=0．…③（8分）
把②式及代入③式化简得．
解得或k=（10分）
存在实数或k=，使得以AF⊥BF
解析分析：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，由题意知 k2-2≠0，△=（2k）2-8（k2-2）＞0，由此可知实数k的取值范围．（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由题意 AF⊥BF为（k2+1）x1x2+（k-c）（x1+x2）+c2+1=0利用韦达定理列出关于k的方程，可求出k的值．
点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力．