已知数列{an}中，a1=t（t∈R，且t≠0，1），a2=t2，且当x=t时，f（x）=（an-an-1）x2-（an+1-an）x（n≥2）取得极值?（1）求证：

网友回答

解：（1）由f'（t）=0，
得（an-an-1）t=an+1-an（n≥2）
又a2-a1=t（t-1），t≠0且t≠1，
∴a2-a1≠0，
∴
∴数列{an+1-an}是首项为t2-t，公比为t的等比数列
（2）由（1）知an+1-an=tn+1-tn，
∴an-an-1=tn-tn-1，
∴an-1-an-2=tn-1-tn-2，
…
a2-a1=t2-t，
上面n-1个等式相等并整理得an=tn．（t≠0且t≠1）
bn=anln|an|=tn?ln|tn|=ntn?ln|t|．
∴Sn=（t+2?t2+3?t3++n?tn）ln|t|，
tSn=[t2+2?t3++（n-1）tn+n?tn+1]ln|t|，
两式相减，并整理得
（3）∵
∴当n为偶数时，bn=ntnln|t|＜0；
当n为奇数时，bn=ntnln|t|＞0，∴最大项必须为奇数项
设最大项为：b2k+1，则有
即：
整理得
将代入上式，解得
∵k∈N+
∴k=2，即数列{bn}中的最大项是第5项

解析分析：（1）根据当x=t时，f（x）=（an-an-1）x2-（an+1-an）x（n≥2）取得极值，求导，得到f'（t）=0，即an-an-1）t=an+1-an（n≥2）整理可证；（2）由（1），利用累加法即可求得数列{an}的通项公式，可求数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和；（3）根据（2）去绝对值符号，对n分奇偶讨论，解不等式组即可证明结果．

点评：此题是个难题．考查等比数列的定义和通项公式，累加法求数列通项公式以及错位相减法求数列的前n项和，体现了分类讨论的思想．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．