已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{an}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）

网友回答

（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立
∴a≥在[0，+∞）上恒成立
∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]
∴a≥1
当a=1时，f（x）min=f（0）=0；
（Ⅱ）解：∵，
∴=
∴{}是常数数列
∵，，
∴
∴=
∴
∴
∴{an-1}是首项为-，公比为的等比数列
∴an-1=（-）?
∴an=1-；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立
令x=，则
∴＜ln（+1）=ln（3n+1-2）-ln（3n-2）
∴++…+＜[ln（32-2）-ln（31-2）]+[ln（33-2）-ln（32-2）]+…+ln（3n+1-2）-ln（3n-2）=ln（3n+1-2）
∴

解析分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{an-1}是首项为-，公比为的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1-2）-ln（3n-2），叠加即可证得结论．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．