如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上，且CE=λCC1．
（1）λ为何值时，A1C⊥平面BED；
（2）若A1C⊥平面BED，求二面角A1-BD-E的余弦值．
网友回答
解：法一：（1）连接B1C交BE于点F，连接AC交BD于点G，
∴AC⊥BD，由垂直关系得，A1C⊥BD，
若A1C⊥平面BED，则A1C⊥BE，
由垂直关系可得B1C⊥BE，
∴△BCE∽△B1BC，∴==，
∴CE=1，∴λ==．
（2）连接A1G，连接EG交A1C于H，则A1G⊥BD．
∵A1C⊥平面BED，
∴∠A1GE是二面角A1-BD-E的平面角．
∵A1G=3，EG=，A1E=，
∴cos∠A1GE==，
法二：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），
∵CE=λCC1=4λ，∴E（0，2，4λ），
∴=（2，2，0），=（2，0，4），
=（-2，2，-4），=（0，2，4λ），
∵?=2×（-2）+2×2+0×（-4）=0，
∴⊥，∴DB⊥A1C．
若A1C⊥平面BED，则A1C⊥DE，∴⊥，
∴?=（-2）×0+2×2+（-4）×4λ=4-16λ=0，
∴λ=．
（2）设向量n=（x，y，z）是平面DA1B的一个法向量，
则n⊥，n⊥，∴2x+2y=0，2x+4z=0，
令z=1，则x=-2，y=2，∴n=（-2，2，1）
由（1）知平面BDE的一个法向量为=（-2，2，-4）
∴cos＜n，＞==．
即二面角A1-BD-E的余弦值为．
解析分析：（1）法一：由于λ不确定，从而E点是个动点，而要A1C⊥平面BED，所以不妨考虑A1C⊥平面BED满足的条件，从而发现必须有A1C⊥BE，由三垂线定理，得到B1C⊥BE，由三角形相似容易得到λ的值，法二：用向量法，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz．则：D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），由于CE=λCC1，而CC1的坐标可求，A1C坐标可求，若A1C⊥平面BED，则A1C⊥DE，由向量内积定义可求λ的值；（2）法一：在解决问题（1）的基础上，可以作出二面角的平面角，通过解三角形解决．法二：用向量法，由（1）知平面BDE的一个法向量为=（-2，2，-4），故只需求平面DA1B的一个法向量，设为n=（x，y，z），则n⊥，n⊥，通过内积为0求之，再计算向量n与向量A1C的夹角即可．
点评：本题考查直线垂直于平面、二面角的求法，在长方体、正方体等较为规则的几何体中，因为容易建立空间坐标系，可以考虑向量法解决，也可以用几何法推导，但是一定要注意问题中有连续的几问时，前一问对后面问题的影响，从而使后面的问题的解决变得简捷．