解答题设关于正整数n的函数f（n）=1?22+2?32+…n（n+1）2
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常数a，b，c使得f（n）=对一切自然数n都成立？并证明你的结论．
网友回答
解：（1）∵f（n）=1?22+2?32+…n（n+1）2，
∴f（1）=1?22=4，
f（2）=1?22+2?32=22，
f（3）1?22+2?32+3?42=70；
（2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=对一切自然数n都成立，
则f（1）=（a+b+c）=4，
∴a+b+c=24①，
同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
由f（3）=70得9a+3b+c=70③
联立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
∴f（n）=（3n2+11n+10）．
证明：1°当n=1时，显然成立；
2°假设n=k时，f（k）=（3k2+11k+10）=，
则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]2
=+（k+1）[（k+1）+1]2
=（3k2+17k+24）
=
=，
即n=k+1时，结论也成立．
综合1°，2°知，存在常数a=3，b=11，c=10使得f（n）=（3n2+11n+10）对一切自然数n都成立．解析分析：（1）由f（n）=1?22+2?32+…n（n+1）2即可求得f（1），f（2），f（3）；（2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=对一切自然数n都成立，由f（1），f（2），f（3）的值可求得a，b，c；再用数学归纳法证明即可．点评：本题考查数学归纳法，求得a，b，c的值是关键，考查分析、运算及推理证明的能力，属于难题．