如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱锥B-A1B1D的体积．

网友回答

（1）证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等可知：AB1⊥A1B
如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE
∴∠BB1E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°
∴BD⊥B1E
由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1
∴AE⊥BD
∵B1E?平面AEB1，AE?平面AEB1，AE∩B1E=E
∴BD⊥平面AEB1
∴BD⊥AB1
∵A1B?平面A1BD，BD?平面A1BD，A1B∩BD=B
∴AB1⊥平面A1BD
（2）解：连接B1D，由AA1∥平面BCC1B1
所以点A1到平面BCC1B1的距离，等于AE=
=2
∴==
故三棱锥B-A1B1D的体积为．
解析分析：（1）取BC中点E，连接B1E，证明BD⊥平面AEB1，得BD⊥AB1，由直线与平面垂直的判定定理，可得所证结论．（2）连接B1D，则三棱锥B-A1B1D的体积可以通过求三棱锥A1-B1DB的体积得到．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理、几何体体积的求法，解题过程中要注意各种位置关系的相互转化以及数量关系的求解．