已知椭圆和点P(4,0),垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,连结PB交椭圆C于另一点E.(Ⅰ)求椭圆C的焦点坐标和离心率;(Ⅱ)证明直线AE与x轴相交于定点.

发布时间:2020-08-01 05:43:51

已知椭圆和点P(4,0),垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,连结PB交椭圆C于另一点E.
(Ⅰ)求椭圆C的焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)证明直线AE与x轴相交于定点.

网友回答

(Ⅰ)解:由题意知:a2=4,b2=3,∴c2=a2-b2=1,得到c=1.
∴焦点坐标为(±1,0);
??离心率.
(Ⅱ)证明:由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4)
设B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,-y1).
由得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0
则…(1)
直线AE的方程为,
令y=0,得…(2)
又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入(2)式,得…(3)
把(1)代入(3)式,整理得x=1
所以直线AE与x轴相交于定点(1,0).

解析分析:(I)由椭圆的标准方程得到:a2=4,b2=3,c2=a2-b2,即可得到焦点坐标和离心率;(II)由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4),设B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,-y1).把直线PB的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,写出直线AE的方程,并令yA=0,即可得到点A的横坐标的表达式,把根与系数的关系式代入即可证明.

点评:熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线PB的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系是解题的关键.
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