数列{an}满足a1=1，an+1=（n2+n-λ）an（n=1，2，…），λ是常数．（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可

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解：（Ⅰ）由于an+1=（n2+n-λ）an（n=1，2，），且a1=1．
所以当a2=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．
从而a3=（22+2-3）×（-1）=-3．
（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，an+1=（n2+n-λ）an
得a2=2-λ，a3=（6-λ）（2-λ），a4=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即（5-λ）（2-λ）=1-λ，
解得λ=3．于是a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记bn=n2+n-λ（n=1，2，），根据题意可知，b1＜0且bn≠0，即λ＞2
且λ≠n2+n（n∈N*），这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；
当n≤n0-1时，bn＜0．所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，
则，从而当n＞n0时，an＜0；若n0为奇数，则，
从而当n＞n0时an＞0．因此“存在m∈N*，当n＞m时总有an＜0”
的充分必要条件是：n0为偶数，
记n0=2k（k=1，2，），则λ满足．
故λ的取值范围是4k2-2k＜λ＜4k2+2k（k∈N*）．
解析分析：（Ⅰ）由题设条件知当a2=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．从而求出a3．（Ⅱ）由题意知若存在λ，使{an}为等差数列，则有a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．（Ⅲ）记bn=n2+n-λ（n=1，2，），n0=2k（k=1，2，），则λ满足．由此可求出故λ的取值范围．

点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．