填空题过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线，则实数a的取值范围是_______

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解析分析：设出切点的坐标，求出曲线方程的导函数，把设出的切点的横坐标代入导函数中表示出切线方程的斜率k，由切点坐标和斜率写出切线方程，把原点坐标代入得到一个方程，设方程左边的函数为h（x），求出h（x）导函数为0时x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到h（x）的极大值和极小值，令极大值大于0，极小值小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的a的取值范围．解答：设切点坐标为（x0，x03+2x02+a），而切线的斜率k=y′=3x02+4x0，所以切线方程为：y-（x03+2x02+a）=（3x02+4x0）（x-x0），把原点（0，0）代入得：2x03+2x02-a，所以过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线，方程2x03+2x02-a=0有三个不同的实数解，设h（x）=2x3+2x2-a，所以令h′（x）=6x2+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-，则x，h′（x），h（x）的变化如下图：x（-∞，-）-（-，0）0（0，+∞）h'（x）+0-0+h（x）↑极大值↓极小值↑根据图形可知：h（x）极大值=h（-）=-a，h（x）极小值=h（0）=-a，根据题意，即，解得：0＜a＜，则实数a的取值范围是（0，）．故