如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．
（I）求证：A1B∥平面AEC1；
（II）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；
（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
网友回答
（1）证明：连接A1C交AC1于点O，连接EO，
因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，
又E为CB中点，所以EO为△A1BC的中位线，
所以EO∥A1B，
又∵EO?平面AEC1，A1B?平面AEC1，
所以A1B∥平面AEC1．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系
所以A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），
设M（0，0，m），0≤m≤2，所以，=（1，-1，-2），
因为B1M⊥C1E，所以，解得m=1，所以AM=1．
（Ⅲ）解：因为=（1，1，0），=（0，2，2），
设平面AEC1的法向量为=（x，y，z），
则有，得，
令y=-1，则x=1，z=1，所以取=（1，-1，1），
因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），
所以cos＜＞==-，
平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．
解析分析：（1）连接A1C交AC1于点O，连接EO，由ACC1A1为正方形，知O为A1C中点，由E为CB中点，知EO∥A1B，由此能够证明A1B∥平面AEC1．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能得到棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，并能求出AM的长
（Ⅲ）由=（1，1，0），=（0，2，2），求出平面AEC1的法向量为=（1，-1，1），利用向量法能求出平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点的判断，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．