已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{an}满足．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求f（a1）+f（a2）+…+f（an）；（3）求证

网友回答

解：（1）∵，∴{an}是等比数列，又a1=e，∴数列{an}的通项公式为：an=en．
（2）由（1）知，f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，
∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e2+…+en）
=．
（3）由函数f（x）=lnx-x+1，得，又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），
即，
故．
解析分析：（1）由，知{an}是等比数列，又a1=e，可得数列{an}的通项公式．（2）由f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，得f（a1）+f（a2）+…+f（an）的值．（3）由函数f（x），求得f'（x），由导数判断f（x）递减，从而得f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，所以：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），即证得．

点评：本题考查了函数与数列的综合应用，解题时应认真分析，细心解答，以免出错．