已知a＞0，函数f（x）=ax3-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对

网友回答

解：（1）∵f（-x）=a（-x）3-b（-x）=-（ax3-bx）=-f（x），…（2分）
∴f（x）为奇函数．…（3分）
设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，又f'（x）=3ax2-b，…（5分）
∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2，
∴，
∴，又x1≠x2，∴x1=-x2，…（6分）　　
又∵f（x）为奇函数，
∴点A，B关于原点对称．…（7分）
（2）由（1）知A（x1，y1），B（-x1，-y1），
∴，…（8分）
又f（x）在A处的切线的斜率，
∵直线l1，l2都与AB垂直，
∴，…（9分）
令，即方程3t2-4bt+b2+1=0有非负实根，…（10分）
∴△≥0?b2≥3，又，
∴．
综上．…（14分）

解析分析：（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（-x）=-f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，利用导数的几何意义得出x1=-x2从而得到A，B关于原点对称．（2）由（1）知A（x1，y1），B（-x1，-y1），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l1，l2都与AB垂直，得到方程3t2-4bt+b2+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．

点评：本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．