解答题设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x+c（c为常数）．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求证：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|．
网友回答
解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，
∵当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x+c（c为常数）．
∴f（x）=-（2-x）2+4（2-x）+c=-x2+c+4
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x2+c+4
由于f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x2-c-4
∴
（2）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0＜x1+x2＜2，
∴|f（x2）-f（x1）|=||=|（x2-x1）（x2+x1）|＜2|x2-x1|
∴|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|．解析分析：（1）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出-1≤x≤0时函数f（x）的解析式，最后根据奇偶性求出函数在0＜x≤1上的解析式，从而可得f（x）的表达式；（2）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0＜x1+x2＜2，代入解析式进行化简变形，即可证得结论．点评：本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，考查函数的解析式，同时考查了不等式的证明，解题的关键是正确利用函数的对称性．