在△ABC中,已知sin(A+B)=sinB+sin(A-B).(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若,,求.

发布时间:2020-07-31 18:46:05

在△ABC中,已知sin(A+B)=sinB+sin(A-B).
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若,,求.

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(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)原式可化为:sinB=sin(A+B)-sin(A-B)
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,…(3分)
∵B∈(0,π),∴sinB>0,
∴cosA=,…(5分)
又A∈(0,π),∴A=;…(6分)
(Ⅱ)由余弦定理,得||2=||2+||2-2||?||?cosA,…(8分)
∵||=7,?=||?||?cosA=20,
∴||2+||2=89,…(10分)
∵|+|2=||2+||2+2?=89+40=129,…(12分)
∴|+|=.…(13分)
解析分析:(Ⅰ)将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后根据sinB不为0,得出cosA的值,由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;(Ⅱ)利用余弦定理列出关系式||2=||2+||2-2||?||?cosA,将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出||2+||2的值,把所求式子平方并利用完全平方公式展开,将各自的值代入开方即可求出值.

点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,平面向量的数量积运算法则,以及向量模的计算,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
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