如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）

网友回答

方法一：（Ⅰ）证明：因为，CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，
而P∈平面CC1D1D，所以PD?面CC1D1D，所以BC⊥PD．
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
所以由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE．
因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．
因为PE=1，，所以．
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．
（Ⅲ）解：当a=2时，PC∥平面AB1D．
当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC1=90°，所以C1D⊥PD．
而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．
而C1D?面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D．
方法二：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长AA1=a，则有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）． 
于是，，，所以，．
所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：A（3，0，a），所以，而平面ABCD的一个法向量为．
所以．
所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为．
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．
（Ⅲ）解：B1=（3，2，0），所以，．
设平面AB1D的法向量为，则有，
令z=2，可得平面AB1D的一个法向量为．
若要使得PC∥平面AB1D，则要，即，解得a=2．
所以当a=2时，PC∥平面AB1D．
解析分析：方法一：（Ⅰ）证明PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE，可得∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角，从而可求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）当a=2时，PC∥平面AB1D，利用线面平行的判定可得结论；
方法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求得，平面ABCD的一个法向量为，利用向量的夹角公式，可求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）求得平面AB1D的一个法向量为，要使得PC∥平面AB1D，则要，从而可得结论．


点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，线面角，考查空间向量知识的运用，属于中档题．