设双曲线的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若双曲线上存在点P，使AP⊥PQ，则双曲线的离心率的取值范围是________．

网友回答

1＜e＜

解析分析：点P（m，n），根据⊥利用数量积为零算出（m-a）（2a-m）-n2=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b2（）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．

解答：设点P（m，n），可得=（m-a，n），=（2a-m，-n）∵AP⊥PQ，∴?=（m-a）（2a-m）-n2=0…（1）又∵P（m，n）在双曲线上∴，得n2=b2（）…（2）将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（）=0化简整理，得-m2+3am+c2-3a2=0此方程的一根为m1=a，另一根为m2=．∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，∴＞a，得3a2＞2c2，即e2＜由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜故