（理）?已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的

网友回答

解：（1）f′（x）=1-，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x2+b????
∴x-lnx+2x=x2+b，∴x2-3x+lnx+b=0
设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）=
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表
?x?（0，）??（，1）?1?（1，2）?2?g′（x）+?0-?0+?g（x）↗?极大值↘?极小值 ↗?b-2+ln2 ∴当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根
∴，∴，∴+ln2≤b≤2
解析分析：（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f′（1）=0，解之即可；（2）由（1）知f（x）=x-lnx，故x2-3x+lnx+b=0，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g（x），g（x）的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论．

点评：本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度