函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）证明f（-x）=-f（x）；（4）对f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-

网友回答

解：（1）f（x）=1-，
因为2x＞0，所以0＜＜2，-2＜-＜0，
所以-1＜1-＜1，即-1＜f（x）＜1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）f（x）为增函数，下面证明：
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（）-（1-）=，
因为x1＜x2，所以，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）为增函数；
证明：（3）f（-x）====-f（x），
所以原式成立；
（4）f（1-m）+f（1-m2）＜0?f（1-m）＜-f（1-m2），
由（3）知-f（1-m2）=f（m2-1），
所以f（1-m）＜f（m2-1），
又由（2）知f（x）单调递增，
所以有，解得1＜m．
所以实数m的集合M={m|1＜m}．
解析分析：（1）f（x）=1-，利用指数函数的值域及不等式的性质即可求得函数值域；（2）根据函数单调性的定义即可判断证明；（3）利用分式性质对f（-x）进行变形即可得到与f（x）的关系；（4）利用函数的单调性及（3）的结论，可把该抽象不等式转化为具体二次不等式，注意考虑定义域，解不等式组即可；

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生分析解决问题的能力，解决本题的关键是利用函数性质把抽象不等式转化为具体不等式，体现了转化思想．