已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且a1=5，数列{xn}满足，设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点Pn（xn，f（xn）），使得点Pn处的切线与直线A0An平行．
（1）证明：{logt（xn-1）+1}是等比数列；
（2）当Dn+1?Dn对一切n∈N*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{an}的前n项和为Sn，当时，试比较Sn与n+7的大小，并证明你的结论．
网友回答
解：（1）∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行，
∴，即，
由xn+1=tf（xn+1-1）+1，得xn+1-1=t（xn-1）2，
∴logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1），
即logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]，
∴{logt（xn-1）+1}是首项为logt2+1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得logt（xn-1）+1=（logt2+1）?2n-1，
∴．
从而，
由Dn+1?Dn对一切n∈N*恒成立，
得an+1＜an，
即，
∴0＜2t＜1，
即．
（3）当时，，
∴，
当n≤3时，2n-1≤n+1；
当n≥4时，2n-1＞n+1，
∴当n≤3时，＜n+7．
当n≥4时，Sn＜
=
＜n+7．
综上所述，对任意的n∈N*，都有Sn＜n+7．
解析分析：（1）由线在点Pn的切线与直线AAn平行，知，由xn+1=tf（xn+1-1）+1，得xn+1-1=t（xn-1）2，由此能够证明{logt（xn-1）+1}是等比数列．（2）由logt（xn-1）+1=（logt2+1）?2n-1，得．从而，由Dn+1?Dn对一切n∈N*恒成立，得an+1＜an，由此能求出t的取值范围．（3）当时，，所以，由此能够比较比较Sn与n+7的大小．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．