设函数fn（x）=1-x+-+…-，n∈N*，（Ⅰ）研究函数f2（x）的单调性并判断f2（x）=0的实数解的个数；（Ⅱ）判断fn（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

网友回答

解：（Ⅰ）f2（x）=1-x+-，则f2′（x）=-1+x-x2=-（x-）2-＜0
∴函数f2（x）在R上单调减
∵f2（1）＞0，f2（2）＜0
∴f2（x）=0的实数解的个数是1个；
（Ⅱ）fn（x）=0的实数解的个数是1个
求导函数可得fn′（x）=-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2．
（1）若x=-1，则fn′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，则fn′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0时，则fn′（x）=-．
①当x＜-1时，x+1＜0，x2n-1+1＜0，∴fn′（x）＜0．
②当x＞-1时，fn′（x）＜0
综合（1），（2），（3），得fn′（x）＜0，
即fn（x）在R单调递减．
又fn（0）=1＞0，fn（2）=（1-2）+（）+…+（-）＜0
所以fn（x）在（0，2）有唯一实数解，从而fn（x）在R有唯一实数解．
综上，fn（x）=0有唯一实数解．

解析分析：（Ⅰ）对函数求导，导函数是一个二次函数，配方整理看出导函数一定小于0，得到函数的单调性（II）首求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，从而可得交点的个数．

点评：本题考查函数与方程的关系和导数的应用，本题解题的关键是由导数看出函数的单调性，根据单调性确定函数与横轴的交点个数．分类研究函数的单调性体现了分类讨论的思想