已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）求△F1PF2的面积仅与椭圆的短轴长有关．

网友回答

解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n
则根据椭圆的定义，得m+n=2a，…．①
又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°
∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2…．②
①②联解，得
又∵，
∴≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得
即椭圆离心率的取值范围是[，1）
（2）由（1），得=b2
∴
面积表达式中的字母只含有b，可得△F1PF2的面积仅与椭圆的短轴长有关．

解析分析：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n．根据椭圆的定义和余弦定理，建立关于m、n的方程组，联解可得m、n关于a、c的式子，再根据基本不等式得mn≤a2，建立关于a、c的不等式，变形整理即可得到椭圆离心率的取值范围；（2）根据（1）中的结论，可算出△F1PF2的面积等于b2，由此可得△F1PF2的面积仅与椭圆的短轴长有关．

点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形，求三角形的面积并讨论椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单性质、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．