设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a5-1）3+2011（a5-1）=1，（a2007-1）3+2011（a2007-1）=-1，则下列结论正确的是A.S2011=2011，a2007＜a5B.S2011=2011，a2007＞a5C.S2011=-2011，a2007≤a5D.S2011=-2011，a2007≥a5
网友回答
A
解析分析：令f（x）=x3+2011x-1，，由f′（x）=3x2+2011＞0可得f（x）在R上单调递增且连续的函数，结合零点判定及f（0），f（1）的符号可知函数f（x）=x3+2011x-1只有唯一的零点x0∈（0，1）从而可得a5-1，的符号，同理可得a2007-1的符号，由已知两式相加可得，（a5+a2007-2）[（a5-1）2+（a2007-1）2-（a5-1）（a2007-1）+2011]=0，从而有a5+a2007-2=0，由等差数列的性质可得a1+a2011=a5+a2007=2，代入等差数列的求和公式可求
解答：令f（x）=x3+2011x-1，g（x）=x3+2011x+1f′（x）=3x2+2011＞0f（x）在R上单调递增且连续的函数f（0）=-1＜0，f（1）=2011＞0函数f（x）=x3+2011x-1只有唯一的零点x0∈（0，1）从而可得0＜a5-1＜1，1＜a5＜2，-1＜a2007＜0∴a2007＜a5∵（a5-1）3+2011（a5-1）=1，（a2007-1）3+2011（a2007-1）=-1两式相加整理可得，（a5+a2007-2）[（a5-1）2+（a2007-1）2-（a5-1）（a2007-1）+2011]=0由0＜a5-1＜1，-1＜a2007-1＜0可得（a5-1）2+（a2007-1）2-（a5-1）（a2007-1）+2011＞0∴a5+a2007-2=0由等差数列的性质可得，a1+a2011=a5+a2007=2∴=2011故选：A
点评：本题主要考查了利用函数的导数及单调性、由函数的性质判定零点的范围，等差数列性质（若m+n=p+q，则am+an=ap+aq）的应用及求和公式应用，本题是一道综合性非常好的试题，知识的应用也比较灵活．考试要注意体会应用．