设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3…）．（Ⅰ）求证：数列{Sn+1}为等比数列；（Ⅱ）求通项公式an；（Ⅲ）设bn=

网友回答

解：（Ⅰ）∵Sn+1=3Sn+2，
∴Sn+1+1=3（Sn+1）
∵S1+1=2+1=3
∴{Sn+1}是首项为3公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{Sn+1}是首项为3公比为3的等比数列．
∴Sn+1=3×3n-1=3n，
∴Sn=3n-1，
Sn-1=3n-1-1，
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=．
（Ⅲ）证明：∵Sn=3n-1，，
∴bn===
=，
设，
b1+b2+…+bn＜c1+c2+c3+…+cn
=
＜（1+++…+）
=
=＜1．
∴b1+b2+…+bn＜1．

解析分析：（Ⅰ）由Sn+1=3Sn+2，知Sn+1+1=3（Sn+1），由此能够证明{Sn+1}是等比数列．（Ⅱ）由Sn=3n-1，得到Sn-1=3n-1-1，由此能求出an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=．（Ⅲ）bn==，由此入手，能够证明b1+b2+…+bn＜1．

点评：本题考查数列与不等式的综合，综合题强，难度大，计算繁琐，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意放缩法的合理运用．