在数列an中，a1=0，a2=2，an+1+an-1=2（an+1），n≥2（1）求数列an的通项公式（2）若不等式对任意的正整数n都成立，求x的取值范围．

网友回答

解：（1）由已知得，an+1-an=an-an-1+2，（n≥2）（1分）
∴数列an+1-an是以首项为a2-a1=2，公差为2的等差数列
∴an+1-an=2n（3分）
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=n（n-1）
又a1=0=1×（1-1）适合，
∴an=n（n-1）（6分）
（2）由（1）得，an=n2-n，
∴
∴（9分）
由已知得
即对任意的正整数n均成立
∴x2-x＞2
∴x＜-1或x＞2
即所求x的范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）（12分）
解析分析：（1）由已知得，an+1-an=an-an-1+2，（n≥2），所以an+1-an=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由an=n2-n，知，由已知得对任意的正整数n均成立，由此能求出所求x的范围．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和以数列为载体借助函数的性质求参数的取值范围，解题要全面考虑，统筹分析，避免丢解．