若或1，i=1，2，…，n），则称An为0和1的一个n位排列．对于An，将排列记为R1（An）；将排列记为R2（An）；依此类推，直至Rn（An）=An．对于排列An和Ri（An）（i=1，2，…，n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做An和Ri（An）的相关值，记作．例如，则，．若，则称An为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列A3；
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列A5；
（Ⅲ）若某个A2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A2k+1中1的个数．
网友回答
（Ⅰ）解：最佳排列A3为 ，，，，，．?????…（3分）
（Ⅱ）证明：设，则，
因为?，所以|a1-a5|，|a2-a1|，|a3-a2|，|a4-a3|，|a5-a4|之中有2个0，3个1．
按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．
但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得，
从而不存在最佳排列A5．?…（7分）
（Ⅲ）解：由或1，i=1，2，…，2k+1），得，，
…，．
因为?，
所以?A2k+1与每个Ri（A2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，
因此有|a1-a2k+1|+|a2-a1|+…+|a2k-a2k-1|+|a2k+1-a2k|=k+1，|a1-a2k|+|a2-a2k+1|+…+|a2k-a2k-2|+|a2k+1-a2k-1|=k+1，
…，|a1-a3|+|a2-a4|+…+|a2k-a1|+|a2k+1-a2|=k+1，|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a2k-a2k+1|+|a2k+1-a1|=k+1．
以上各式求和得，S=（k+1）×2k．???…（10分）
另一方面，S还可以这样求和：设a1，a2，…，a2k，a2k+1中有x个0，y个1，则S=2xy．…（11分）
所以解得或，
所以排列A2k+1中1的个数是k或k+1．???…（13分）
解析分析：（Ⅰ）根据最佳排列的定义可得，最佳排列A3为 ，，，，，． （Ⅱ）由 ，可得|a1-a5|，|a2-a1|，|a3-a2|，|a4-a3|，|a5-a4|之中有2个0，3个1，而a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得．（Ⅲ） A2k+1与每个Ri（A2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，设a1，a2，…，a2k，a2k+1中有x个0，y个1，则S=2xy，可得，解得或，从而得出结论．
点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．