已知函数f（x）=x-lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当1＜x＜2时，f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）如果x1，x2∈（0，2），x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞2．
网友回答
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=1-=，
则f′（x）＜0时，0＜x＜1，当f′（x）＞0时，x＞1，
所以f（x）的减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）．
（Ⅱ）由题意知，g（x）=f（2-x）=2-x-ln（2-x），
令F（x）=f（x）-g（x）═2x-2-lnx+ln（2-x），
F′（x）=2--==．
当1＜x＜2时，F′（x）＜0，即F（x）是减函数．
F（x）＜F（1）=0，
所以f（x）＜g（x）．
（Ⅲ）证明：（1）若（x1-1）（x2-1）=0，
由（Ⅰ）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1，与x1≠x2矛盾．
（2）若（x1-1）（x2-1）＞0，由（Ⅰ）及f（x1）=f（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾．
根据（1）（2）得（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x11．
当1＜x2＜2时，由（Ⅱ）可知f（x2）＜g（x2），而g（x2）=f（2-x2），
所以f（x2）＜f（2-x2），从而f（x1）＜f（2-x2），因为x2＞1，所以2-x2＜1，
又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（0，1）内为减函数，所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2．
解析分析：（Ⅰ）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；（Ⅱ）由对称关系求出g（x），构造函数F（x）=f（x）-g（x），用导数证明当1＜x＜2时，F（x）＜0即可；（Ⅲ）分（x1-1）（x2-1）=0，（x1-1）（x2-1）＞0，（x1-1）（x2-1）＜0三种情况讨论，借助（Ⅰ）（Ⅱ）问结论可证明．
点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、证明不等式问题，考查分析问题解决问题的能力，综合性较强．