解答题三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．
网友回答
证明：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1．
在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．
又∵MN?平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1-xyz．
则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）
∴=（0，2，2），，．
设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．
令z=1，则x=0，y=-1，∴n=（0，-1，1）．
∴．∴MN⊥平面A1B1C．解析分析：（Ⅰ）欲证MN||平面BCC1B1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC1B1内一直线平行即可，而连接BC1，AC1．根据中位线定理可知MN||BC1，又MN?平面BCC1B1满足定理所需条件；（Ⅱ）以B1为原点，A1B1为x轴，B1B为y轴，B1C1为z轴建立空间直角坐标系B1-xyz，求出平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z），而，根据法向量的意义可知MN⊥平面A1B1C．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α?a∥β）．