已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．

网友回答

解：（1）由得5x2+2mx+m2-1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2+5≥0，
解得-，
所以实数m的取值范围是-；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，，，
所以弦长|AB|===?=，
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．

解析分析：（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目的基础知识，应熟练掌握．