已知函数f（x）=xlnx，，（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（

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解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞，
∴f（x）的增区间是（）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜，
∴f（x）的减区间是（0，）．
∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[g（x）]min≥[f（x）]max．
当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．
∴[f（x）]max=f（e）=e．
∵，（a＞0），
∴=，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，＞0，
∴函数，在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]min=g（1）=1+a2．
由1+a2≥e，得a≥，
又0＜a＜1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则＜0，
若a＜x≤e，则＞0．
∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[g（x）]min=g（a）=2a．
由2a≥e，得a≥，
又1≤a≤e，∴≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，＜0，
∴函数在[1，e]上是减函数．
∴．
由≥e，得a∈R，
又a＞e，∴a＞e． （15分）
综上所述，a的取值范围为．
解析分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立等价于g（x1）min≥f（x2）max，从而转化为分别求函数g（x），f（x）在[1，e]的最小值、最大值．

点评：本题综合考查了极值存在的性质及零点判定定理的运用，函数的恒成立问题，解决此类问题常把问题进行转化，体现了转化的思想、方程与函数的思想的运用．属于中等难度的试题．