设数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=（n≥1，n∈N*）．（1）求证：数列{}是常数列；（2）求证：当n≥2时，2＜an2-an-12≤3；（3）求a2

网友回答

解：（1）易知，对一切n≥1，an≠0，由an+2=，得=．
依次利用上述关系式，可得
===…===1，
从而数列是常数列．（4分）
（2）由（1）得an+1=an+．
又a1=1，∴可知数列{an}递增，则对一切n≥1，有an≥1成立，从而0＜an2≤1．（6分）
当n≥2时，an2=an-12++2，
于是an2-an-12=+2，
∴2＜an2-an-12≤3．（8分）
（3）当n≥2时，an2=an-12++2，
∴a=1，a22=4，则当n≥3时，
an2＞2n．
a20112＞4?022＞3?969=632，（10分）
a20112=+…++2（2011-1）+1
=4?022+＜4?022+×33
=4?022+×33
＜4?022+（19+4+10）＜4?039＜4?096=642．（14分）
∴63＜a2011＜64，即a2011的整数部分为63．（16分）

解析分析：（1）对 N*）变形化简得 ．将其迭代，利用a1=1，a2=2可以得到an+1与an之间的递推关系式；（2）由于数列递增，所以对一切n≥1，有an≥1成立，从而 ．又当n≥2时，，所以有 ，从而问题得证．（3）当n≥2时，，． 又当n≥3时，有an2＞2n，从而 =，从而可解．

点评：本题主要考查数列与不等式的综合，技巧性强，难度大．