解答题已知函数f（x）=，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）．

网友回答

解：（1）依题意可知an+1=f（an）=；
由于a1=1不为0，所以an+1=f（an）都不为0，
上式两边同取倒数得到：
=；
∴=3+；?即：-=3
∴{}为等差数列首项为1，公差为3
∴=1+（n-1）×3=3n-2
∴an=
（2）证明：由（1）可知an=
∴anan+1==（-）
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=（1-++…-）=（1-）＜
原式得证．解析分析：（1）根据函数的解析式把an代入求得数列的递推式，两边取倒数整理可得-=3进而判断出{}为等差数列首项为1，公差为3，进而根据等差数列的通项公式求得an．（2）把（1）中求得的an代入Sn进而利用裂项法求得数列的和，进而根据（1-）＜证明原式．点评：本题主要考查了数列与函数的综合，数列的通项公式以及数列的求和问题．考查了学生综合运用所学知识的能力．