解答题如图,在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱

发布时间:2020-07-09 08:04:11

解答题如图,在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=4,BC=3,
点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=2.
(Ⅰ)证明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA与平面ABCD所成的角的正切值.

网友回答

解:(Ⅰ)证明:因为 ,CD=AB=2,
所以△PCD为等腰直角三角形,所以PD⊥PC.(1分)
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,
所以BC⊥面CC1D1D,而P∈平面CC1D1D,
所以PD?面CC1D1D,所以BC⊥PD.(3分)
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC,
由线面垂直的判定定理,可得PD⊥平面PBC.(6分)
解:(II)过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E,连接AE
∵平面ABCD⊥平面PCD
∴PE⊥平面ABCD
∴∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角,
∵PE=2,AE=
∴tan∠PAE==
∴PA与平面ABCD所成的角的正切值为解析分析:(Ⅰ),要证明PD⊥平面PBC,只需证明PD垂直于平面PBC的两条相交直线即可,由 可得PD⊥PC,而ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,容易证明BC⊥面CC1D1D,而P∈平面CC1D1D,所以PD?面CC1D1D,容易得到PD⊥BC,从而得证;(II)过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E,连接AE,可得∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角,解三角形PAE即可得到PA与平面ABCD所成的角的正切值.点评:本题考查线面垂直的判定及线面平行的判定,直线与平面的夹角,要注意线面垂直中的转化思想,(II)中要注意转化到平面解进行解答.
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